آمار برای همه

استنباط آماري

Statistical Inference

برآورد (تخمين) : Estimation

به فرآيندي كه در آن از نتايج حاصل از نمونه براي برآورد پارامتري از جامعه يا نتيجه‌گيري در مورد ويژگي خاصي از جامعه استفاده مي‌شود استنباط آماري گويند.

مسئلة برآورد در بسياري از زمينه‌ها كاربرد پيدا مي‌كند. بعنوان مثال ممكن است در يك مطالعه اقتصادي تمايل داشته باشيم متوسط هزينه مصرفي خانوارهاي ساكن در يك شهر را بدانيم. براي اين‌كار مي‌توان نمونه‌اي از خانوارها را انتخاب كرد و متوسط هزينه در هر ماه آنها را محاسبه نمود. سپس اين عدد را بعنوان متوسط هزينه مصرفي كلية خانوارهاي ساكن در آن شهر در هر ماه مورد توجه قرار داد.

برآورد نقطه‌اي و فاصله‌اي : Point/ Interval Estimation

برآوردها به دو نوع عمده برآورد نقطه‌اي و برآورد فاصله‌اي تقسيم‌بندي مي‌شوند.

برآورد نقطه‌اي :

در برآورد نقطه‌اي، كميت شاخص مورد نظر در جامعه از نمونه محاسبه مي‌شود و در واقع به اين ترتيب برآورد يا تخميني از شاخص مربوط به‌ جامعه آماري بدست مي‌آيد. فرض كنيد نمونه تصادفي ساده با حجم  از جامعه‌اي كه پارامترهاي آن نامشخص است انتخاب شده باشد.

1   2   4   5   7   11

اكنون چنانچه بخواهيم ميانگين جامعه  را تخمين بزنيم، واضح‌ترين راه اين است كه ميانگين نمونه را حساب كنيم و آن را بعنوان تخميني از ميانگين جامعه ارائه دهيم. يعني :

فرمول را اصطلاحاً برآورد كننده(تخمين زننده)(Estimator) ميانگين جامعه گويند، زيرا روشي را براي برآورد ميانگين جامعه ارائه مي‌كند. وقتي نمونه‌اي مانند فوق از جامعه انتخاب شد و مقدار مشخصي براي  بدست آمد، اصطلاحاً آن مقدار را برآورد نقطه‌اي ميانگين جامعه گويند. توجه داشته باشيد كه اصطلاح برآورد‌كننده دلالت بر روش برآورد دارد، در حالي كه برآورد به مقدار مشخصي اطلاق مي‌شود كه با استفاده از نمونه بدست آمده است.

از آنجا كه عدد مشخصي را بعنوان برآوردي از ميانگين جامعه ارائه مي‌كند، اصطلاحاً برآورد نقطه‌اي ناميده مي‌شود. بطور كلي برآورد كننده‌اي را تخمين زننده نقطه‌اي پارامتر جامعه گويند كه تنها يك عدد را بعنوان تخميني از پارامتر جامعه ارائه كند. در مقابل برآورد نقطه‌اي، برآورد فاصله‌اي است كه تخمين مي‌زند پارامتر جامعه در ميان دو حد مشخص قرار مي‌گيرد.

برآورد فاصله‌اي : Interval Estimation

يك برآورد كنندة فاصله‌اي،‌دامنه‌اي از اعداد را ارائه مي‌كند كه ممكن است پارامتر مجهول جامعه در آن قرار داشته باشد. براي مثال فرض كنيد نمونه زير را بصورت تصادفي از جامعه‌اي كه ميانگين آن نامعلوم است، انتخاب كرده باشيم :

1   2   4   5   7   11

ميانگين نمونه  برآورد نقطه‌اي ميانگين جامعه  است. از طرف ديگر چنانچه عنوان كنيم كه  بين  و  قرار دارد، آنگاه دامنه اعداد بين 4 و 6 يك برآورد فاصله‌اي براي ميانگين جامعه  ناميده مي‌شود. پس برآورد فاصله‌اي  را مي‌توانيم بصورت زير بنويسيم :